برهان تحليلي

زولديك · #1 24-11-2010, 13:21

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته , احببت ان أقدم هذا البرهان التحليل على ان ${\color{blue} 1^{0}=1}$ , و ذلك لأنه قد عارض البعض على صحته , فهلا يناقش

نظرية " ${\color{blue} 1^{0}=1}$ "

البرهان

${\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[x^{\frac{1}{n}}-1]}\because {\color{red} x=1\Rightarrow }{\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1]=0}\therefore {\color{red} \lim_{n\rightarrow \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1=]=0\Leftrightarrow 1^{0}=1}$

أما البرهان على النظرية المعممة و التي تنص على ان ${\color{blue} x^{0}=1}$

فقد قدمته فيما سبق في موضوع "مساعدة" لأختي طالبة فقط

http://www.phys4arab.net/vb/showthre...t=53462&page=4

و أقدم هنا الفكرة التي اعتمدت عليها في البراهين و هي كالآتي

طبعا من التعريف نجد أن
${\color{blue} x^{a-1}=x.x...x_{a-1}}{\color{blue} \Leftrightarrow x.x...x_{a-1}.\frac{x}{x}=x.x...x_{a}.\frac{1}{x}=\frac{x^{a}}{x}}$ و بتكرار ما سبق عددا من المرات قدره b نجد ان

${\color{blue} x^{a-b}}{\color{blue}=\frac{x^{a}}{x^{b}}}$ بحيث كلا من a and b أعداد طبيعية اما باقي الأستنتاجات فهي في الرابط في الاعلى

هذا و بالله التوفيق,,,,:s_thumbup:

زولديك · #2 24-11-2010, 15:30

و أقدم هنا الفكرة التي اعتمدت عليها في البراهين و هي كالآتي

طبعا من التعريف نجد أن
${\color{blue} x^{a-1}=x.x...x_{a-1}}{\color{blue} \Leftrightarrow x.x...x_{a-1}.\frac{x}{x}=x.x...x_{a}.\frac{1}{x}=\frac{x^{a}}{x}}$ و بتكرار ما سبق عددا من المرات قدره b نجد ان

${\color{blue} x^{a-b}}{\color{blue}=\frac{x^{a}}{x^{b}}}$ بحيث كلا من a and b أعداد طبيعية

هنا كحالة خاصة و ذلك عندما a=b نستنتج ان

${\color{blue} x^{a-a}=\frac{x^{a}}{x^{a}}\Leftrightarrow x^{0}=1}$

الصادق · #3 24-11-2010, 15:37

البرهان
$\\ \sum_{1}^{n \to \infty }[x^{\frac{1}{n}}-1]}\\ \rm because \; x=1\Rightarrow } \sum_{1}^{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1]=0}\\ \therefore { \lim_{n\rightarrow \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1]=0\Leftrightarrow 1^{0}=1}$

شكراً لك اخي الكريم زولديك، ولكني لم فهم خطوات برهانك لانني لم اقف على مبرر لاستبدالك للمجموع بقيمة النهاية عند n تؤول الى مالانهاية؟ فارجو ان توضح هذه النقطة بشئ من التفصيل
ايضاً في السطر الثاني كيف حصلت على مجموع يساوي الصفر ؟

ولدي ملاحظة صغيرة بخصوص الكتابة بالاتيكس:
1-اذا اردت يمكنك ان تستخدم \\ لتبدأ سطر جديد حتى لاتكتب اكثر من معادلة في نفس السطر
2-عند كتابة نص داخل المعادلة استخدم {}text\ (لاحظ ان كلمة because لم تظهر عندك لانك كتبتها بعد علامة \ )

تحياتي

زولديك · #4 24-11-2010, 15:54

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

شكراً لك اخي الكريم زولديك، ولكني لم فهم خطوات برهانك لانني لم اقف على مبرر لاستبدالك للمجموع بقيمة النهاية عند n تؤول الى مالانهاية؟ فارجو ان توضح هذه النقطة بشئ من التفصيل

ولدي ملاحظة صغيرة بخصوص الكتابة بالاتيكس:
1-اذا اردت يمكنك ان تستخدم \\ لتبدأ سطر جديد حتى لاتكتب اكثر من معادلة في نفس السطر
2-عند كتابة نص داخل المعادلة استخدم {}text\ (لاحظت ان كلمة because لم تظهر عندك لانك كتبها بعد علامة \ )

تحياتي

لتكن لدينا المتسلسلة
${\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[x^{\frac{1}{n}}-1]=(x-1)+(\sqrt{x}-1)+(\sqrt{\sqrt{x}}-1)+....}$

الآن كحالة خاصة و ذلك عندما x=1 نستنج ان المتسلسلة تؤول إلى الصيغة
${\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1]=(1-1)+(\sqrt{1}-1)+(\sqrt{\sqrt{1}}-1)+....}=0$ أي أن المتسلسلة لها مجموع , و ذلك يعني ان المتسلسلة تقاربية عندما x=1 و لكن كون المتسلسلة تقاربية ذلك يعني بالضرورة كون المتتابعة الخاصة بالمتسلسلة تؤول إلى الصفر أي ان

${\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1]=0\Rightarrow \lim_{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1=0]}$ و من هذا الأخير نستنج ان

${\color{blue}\Rightarrow \lim_{n \to \infty }1^{\frac{1}{n}}-1=0\Rightarrow \lim_{n \to \infty }1^{\frac{1}{n}}=1\therefore 1^{0}=1}$ و سبب توقفي عند

${\color{blue} \lim_{n \to \infty }1^{\frac{1}{n}}=?}$ هو عدم معرفتي لقيمة هذه النهاية , و لكنها "أي قيمة النهاية"أصبحت معادلة بمجهول واحد و من ثم نتجت قيمتها

الصادق · #5 24-11-2010, 17:19

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة زولديك

لتكن لدينا المتسلسلة
${\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[x^{\frac{1}{n}}-1]=(x-1)+(\sqrt{x}-1)+(\sqrt{\sqrt{x}}-1)+....}$

الآن كحالة خاصة و ذلك عندما x=1 نستنج ان المتسلسلة تؤول إلى الصيغة
${\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1]=(1-1)+(\sqrt{1}-1)+(\sqrt{\sqrt{1}}-1)+....}=0$ أي أن المتسلسلة لها مجموع , و ذلك يعني ان المتسلسلة تقاربية عندما x=1 و لكن كون المتسلسلة تقاربية ذلك يعني بالضرورة كون المتتابعة الخاصة بالمتسلسلة تؤول إلى الصفر أي ان

${\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1]=0\Rightarrow \lim_{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1=0]}$ و من هذا الأخير نستنج ان

${\color{blue}\Rightarrow \lim_{n \to \infty }1^{\frac{1}{n}}-1=0\Rightarrow \lim_{n \to \infty }1^{\frac{1}{n}}=1\therefore 1^{0}=1}$ و سبب توقفي عند

${\color{blue} \lim_{n \to \infty }1^{\frac{1}{n}}=?}$ هو عدم معرفتي لقيمة هذه النهاية , و لكنها "أي قيمة النهاية"أصبحت معادلة بمجهول واحد و من ثم نتجت قيمتها

اظنك تقصد
$\150dpi \sum_{n=1}^{\infty}(x^\frac{1}{n}-1)=(1-1)+(\sqrt{1}-1)+(1^{\frac{1}{3}}-1)+\cdots+(1^{\frac{1}{n}}-1)+\cdots$
ولكن انت تريد ان تبرهن ان 1 مرفوع للقوة صفر يساوي 1 وهنا انت استخدمت ما تريد برهانه في خطوات الحل
$\150dpi \sum_{n=1}^{\infty}(x^\frac{1}{n}-1)=(1-1)+(\sqrt{1}-1)+(1^{\frac{1}{3}}-1)+\cdots+(1^{\frac{1}{n}}-1)+\cdots\stackrel{?}{=}0$
ايضاً لاحظ ما الذي يمنع من الاجراء التالي :
$\150dpi \sum_{n=1}^{\infty}(x^\frac{1}{n}-1)=1-(1-\sqrt{1})-(1-1^{\frac{1}{3}})-\cdots-(1-1^{\frac{1}{n}})-\cdots\stackrel{?}{=}1$
اي دمج الحد الثاني مع الثالث والرابع مع الخامس ...الخ

هذا والله تعالى اعلم

زولديك · #6 24-11-2010, 17:34

[IMG][/IMG]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

اظنك تقصد
$\150dpi \sum_{n=1}^{\infty}(x^\frac{1}{n}-1)=(1-1)+(\sqrt{1}-1)+(1^{\frac{1}{3}}-1)+\cdots+(1^{\frac{1}{n}}-1)+\cdots$
ولكن انت تريد ان تبرهن ان 1 مرفوع للقوة صفر يساوي 1 وهنا انت استخدمت ما تريد برهانه في خطوات الحل
$\150dpi \sum_{n=1}^{\infty}(x^\frac{1}{n}-1)=(1-1)+(\sqrt{1}-1)+(1^{\frac{1}{3}}-1)+\cdots+(1^{\frac{1}{n}}-1)+\cdots\stackrel{?}{=}0$
ايضاً لاحظ ما الذي يمنع من الاجراء التالي :
$\150dpi \sum_{n=1}^{\infty}(x^\frac{1}{n}-1)=1-(1-\sqrt{1})-(1-1^{\frac{1}{3}})-\cdots-(1-1^{\frac{1}{n}})-\cdots\stackrel{?}{=}1$
اي دمج الحد الثاني مع الثالث والرابع مع الخامس ...الخ

هذا والله تعالى اعلم

لم أفهم اعتراضك اخي الكريم نحن لدينا المتسلسلة
${\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1]=(1-1)+(1^{\frac{1}{2}}-1)+(1^{\frac{1}{3}}-1)+...}$ و نستطيع غختصار الحدود و ذلك بحساب الجذر التربيعي للواحد و من ثم الجذر التكعيبي للواحد و من ثم الجذر الرابع للواحد و من ثم الجذر المليون للواحد و هكذا دواليك و في كل مرة يكون الناتج في ما بين القوسين هو الصفر أي ان مجموع حدود المتسلسلة هو الصفر و من هنا نستنتج التقارب فها تقول لي كف اعتمدت على ما اريد برهانه في البرهان؟:emot30_astonishe:

زولديك · #7 24-11-2010, 17:41

و إن كان إعتراضك على رمز المالانهاية فوق علامة السجما فيمكن تجزأ الجمع إلى n فقط و من ثم اجد ان المجموع للمتسلسلة هو الصفر و من ثم أستطيع ان اجد المجموع اللانهائي و ذلك باخذ n في جوار المالانهاية و من ثم و حيث ان نهاية الدالة الثابتة هي ثابت بالتالي يكون قيمة الجمع اللانهائي هو الصفر و من ثم تقارب المتسلسلة و من ثم اعود لتطبيق ما اريد و هو نظرية ان المتتابعة تسعى غلى الصفر في حالة التقارب لأستنتج ما اريد دون رمز المالانهاية

مرجانه · #8 24-11-2010, 18:00

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

ايضاً لاحظ ما الذي يمنع من الاجراء التالي :
$\150dpi \sum_{n=1}^{\infty}(x^\frac{1}{n}-1)=1-(1-\sqrt{1})-(1-1^{\frac{1}{3}})-\cdots-(1-1^{\frac{1}{n}})-\cdots\stackrel{?}{=}1$

مساكم الله بالخير جميعا

شكرا زولديك & الصادق
ع الاثبات

اخي الصادق
مالغرض من اخذ الاشاره السالبه خارج القوس في المعادلة المقتبسه

وشكرا .

الصادق · #9 24-11-2010, 18:07

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة زولديك

[IMG][/IMG]

لم أفهم اعتراضك اخي الكريم نحن لدينا المتسلسلة
${\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1]=(1-1)+(1^{\frac{1}{2}}-1)+(1^{\frac{1}{3}}-1)+...}$ و نستطيع غختصار الحدود و ذلك بحساب الجذر التربيعي للواحد و من ثم الجذر التكعيبي للواحد و من ثم الجذر الرابع للواحد و من ثم الجذر المليون للواحد و هكذا دواليك و في كل مرة يكون الناتج في ما بين القوسين هو الصفر أي ان مجموع حدود المتسلسلة هو الصفر و من هنا نستنتج التقارب فها تقول لي كف اعتمدت على ما اريد برهانه في البرهان؟:emot30_astonishe:

نعم حساب الجذر التربيعي للواحد و من ثم الجذر التكعيبي للواحد و من ثم الجذر الرابع للواحد و من ثم الجذر المليون للواحد و هكذا دواليك حتى الجذر 1 على مالانهاية وهذا يساوي 1 مرفوع للاس صفر وهذا ما تريد ان تبرهن انه يساوي الواحد .
هذه هي كانت وجهة اعتراضي. ولكن اذا كنت انت مقتنع فلا بأس...

الصادق · #10 24-11-2010, 18:34

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مرجانه

مساكم الله بالخير جميعا

شكرا زولديك & الصادق
ع الاثبات

اخي الصادق
مالغرض من اخذ الاشاره السالبه خارج القوس في المعادلة المقتبسه

وشكرا .

حياك الله تعالى اختي الكريمة مرجانة

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !