[أحمد سعد الدين]

أوجد مجموع المتسلسلة :
جتاهـ - جتا ( س + هـ ) + جتا ( 2 س + هـ ) + جتا ( 3 س + هـ ) + ............... الي ن حدا ً

[أحمد سعد الدين]

اثبت ان
جا 1(جا 1 +جا 3 +.......+جا97+جا 99)=(جا 50)^2

تمهيد :

جتاج – جتاد = - 2* جا[(ج + د)/2] * جا[(ج – د)/2]
نفرض أن : (ج + د)/2 = ل ، (ج – د)/2 = ع
- 2 جال جاع = جتا (ل + ع) – جتا(ل – ع)
2 جال جاع = جتا (ل – ع) – جتا (ل + ع)

خطوات حل التمرين :

جا 1 +جا 3 +.......+جا97+جا 99)=(جا 50)^2

متسلسلة مثلثية ، زواياها فى تتابع حسابى

الحد الأول أ = 1 ، الأساس د = 2 ، عدد الحدود ن = 50 ، المجموع = ج

ج = جاأ + جا(أ + د) + جا(أ + 2د) + ... + جا(أ + (ن - 1)د)

بالضرب × 2*جا(د/2)

2*جا(د/2)*ج = 2*جا(د/2)*جاأ + 2*جا(د/2)*جا(أ + د) + 2*جا(د/2)*جا(أ + 2د) + ... + *جا(د/2)*جا(أ + (ن - 1)د)

2*جا(د/2)*جاأ = جتا(أ - د/2) - جتا(أ + د/2)
2*جا(د/2)*جا(أ + د) = جتا(أ + د/2) - جتا(أ + 3د/2)
2*جا(د/2)*جا(أ + 2د) = جتا(أ + 3د/2) - جتا(أ + 5د/2)
... ... ...
2*جا(د/2)*جا(أ + (ن - 2)د) = جتا(أ + (ن - 5/2)د) - جتا((أ + (ن - 3/2)د)
2*جا(د/2)*جا(أ + (ن - 1)د) = جتا(أ + (ن - 3/2)د) - جتا(أ + (ن - 1/2)د)

2*جا(د/2)*ج = جتا(أ - د/2) - جتا(أ + (ن - 1/2)د) = 2*جا(أ + (ن - 1)د/2)*جا(ن د/2)

بالتعويض عن قيم أ ، د ، ن

جا(1)* ج = جا(1 + (50 - 1)*2/2) * جا(50*2/2) = (جا(50))^2

[أحمد سعد الدين]

أوجد مجموع الثمانية حدود الأولي من المتسلسلة
جتا ( 2ط/17 ) + جتا ( 4ط/17 + ( جتا ( 6ط/17 ) + ........................



$$$$$$$$$$$$$$

[أحمد سعد الدين]

نضرب ونقسم المقدار بالقيمة :

[جاط/15*جا2ط/15*جا3ط/15*جا4ط/15*جا5ط/15*جا6ط/15*جا7ط/15]


البسط = (جاط/15 جتاط/15)(جا2ط/15 جتا2ط/15)(جا3ط/15 جتا3ط/15)(جا4ط/15 جتا4ط/15)(جا5ط/15 جتا5ط/15)(جا6ط/15 جتا6ط/15)(جا7ط/15 جتا7ط/15)

= (1/2)^7 [جا2ط/15*جا4ط/15*جا6ط/15][جا8ط/15*جا10ط/15*جا12ط/15*جا14ط/15]

وحيث :

جا8ط/15 = جا7ط/15
جا10ط/15 = جا5ط/15
جا12ط/15 = جا3ط/15
جا14ط/15 = جاط/15

البسط = (1/2)^7*[جاط/15*جا2ط/15*جا3ط/15*جا4ط/15*جا5ط/15*جا6ط/15*جا7ط/15]

وحيث أن المقام = [جاط/15*جا2ط/15*جا3ط/15*جا4ط/15*جا5ط/15*جا6ط/15*جا7ط/15]

المقدار = (1/2)^7 = 1/128

[أحمد سعد الدين]

[أحمد سعد الدين]

ضع في أبسط صورة :
جتاس جتا2 س جتا 3 س

ثم أحسب قيمة : جتا ( ط/7 ) جتا ( 2ط/7 ) جتا( 4 ط/ 7 )


نستخدم المتطابقتين التاليتين :
جا2هـ = 2 جاهـ جتاهـ
جاهـ + جاو = 1/2*[جا(هـ + و)/2 . جتا(هـ - و)/2

جتاس جتا2 س جتا 3 س = جتاس جتا2 س جتا 3 س × جاس/جاس

= 1/2*جا2س .جتا2س جتا3س / جاس
= 1/4*جا4س .جتا3س / جاس
= 1/4*[جا(7 + 1)س/2 . جتا(7 - 1)س/2]/جاس
= 1/4*1/2 [جا7س + جاس]/جاس
= 1/8*[جا7س + جاس]/جاس
= 1/8*[جا7س/جاس + 1]

جا( ط/7 ) جتا( 2ط/7 ) جتا( 4 ط/ 7 ) = 1/8*[جا(7ط/7)/جا(ط/7) + 1)
= 1/8*[جاط/جا(ط/7) + 1] = 1/8*[0 + 1] = 1/8

[أحمد سعد الدين]

[أحمد سعد الدين]

[أحمد سعد الدين]

بدون آلة حاسبة :
أوجد قيمة جا 18 ، جتا 18




طرق أخرى

[أحمد سعد الدين]

أوجد قيمة جا15 ، جتا15
بدون استخدام الآلة الحاسبة