[ام فراس]

التكاملات في الرياضيات

موسى ديب الخوري

يستعمل الرياضيون أداة هامة جداً تكاد تدخل في معظم التطبيقات العلمية. ما هو التكامل الرياضي؟

التكامل ببساطة هو مساحة يتم حسابها. فحساب التكامل يعني إيجاد القيمة مساحة محددة بدقة. ويأخذ هذا التعريف في الرياضيات معنى محدداً وبخاصة بالنسبة لمحيط الشكل المراد حساب مساحته. إن تكامل تابع ما وليكن ع يمثل المساحة المأخوذة بين محور السينات ومنحني التابع ع، وذلك بين نقطتين معلومتين ب وجـ . وتتمثل المسألة الرياضية في إعطاء قيمة دقيقة لهذه المساحة. وليس ذلك بالسهل أبداً. فالمساحات التي نستطيع تقديرها ببساطة هي مساحات المستطيلات فقط. ويستخدم تعريف التكامل مفهومين أساسيين فقط هما مساحة المستطيل ومفهوم النهاية. وترتكز الطريقة على تقطيع المسافة من ب إلى جـ على محور السينات إلى قطع صغيرة، ولنفترض مثلاً إلى ن قطعة متساوية. ونضع في كل من هذه القطع وتحت الخط المنحني للتابع ع أكبر مستطيل ممكن (الذي يمس الخط البياني في أدنى نقاطه). وبالمثل نأخذ أصغر مستطيل ممكن فوق الخط المنحني. وبجمع مساحات المستطيلات التحتية من جهة والمساحات الفوقية من جهة أخرى فإننا نعرف بذلك قيمتين قريبتين جداً من المساحة المراد معرفتها. فالتكامل المراد معرفته يقع بين قيمتي هاتين المساحتين. وكلما كانت حجوم المقاطع المأخوذة أصغر تكون القيم التي يتم الحصول عليها أدق. ويمكننا أن نعتبر أننا كلما جعلنا طول هذه التقطيعات ينتهي إلى الصفر فإن المساحتين المتقاربتين تتناهيان إلى قيمة المساحة المراد معرفتها. وهذا التعريف يسمى تعريف ريمان للتكامل وهناك تعاريف أعقد منه.

منذ متى اهتم الرياضيون بالتكامل وحسابه، وكيف توصلوا له؟

التعريف الذي ندعوه بتعريف ريمان لا يعود إلى ريمان بل إلى كوشي الذي نشره عام 1823. وكان قد استعار من فورييه رمز تكامل التابع ع بالإشارة إليه برمز الحرف S اللاتيني بشكل ممطوط، وهو الذي أصبح شائعاً اليوم. وكان ريمان قد عمل بعد ذلك على التكاملات وعلى خصائصها في بحث قدمه عام 1853. ومع ذلك لا يمكن القول إن التكامل ظهر عام 1823 فقط، إذ كان عدد كبير من العلماء في التاريخ قد عملوا على دراسة هذه المسألة.فقد درس أرخميدس في القرن الثالث قبل الميلاد ما ندعوه اليوم بتكامل القطع المكافئ. وكانت هذه المسألة تظهر في مسائل عديدة: مساحة قطع مكافئ، مركز جاذبية مثلث، مساحة حلزون، إلخ. وقد كان للعلماء العرب محاولات عديدة في دراسة هذه المسألة. وبين القرنين السابع عشر والثامن عشر عرف الرياضيون خصائص كثيرة حول المساحات والتكاملات، دون أن يتوصلوا مع ذلك إلى تعريف عام. فقد أعطى فيرما مثلاً عام 1636 قيماً لتكاملات توابع أسية بفضل خصائص خاصة لهذه التوابع. والحق أن تعريف التكامل يرتكز بشكل جوهري على مفهوم التابع الذي لم يكن معرفاً بعد بدقة. وقد أعطى أولر في القرن الثامن عشر أول محاولة تعريف للتابع. وقد صحح تعريفه عدة مرات ليشمل تابع جديدة أكثر عمومية. وفي ذلك الوقت تنبأ ديريشليه أنه يمكن مكاملة تابع شرط ألا يكون متقطعاً كثيراً. كذلك عمل كوشي على محاولة إثبات أن متتاليتي المستطيلات اللتين تحدان التابع لهما نهاية واحدة. لكن هذه النظريات لم تبرهَن إلا لاحقاً. وشهدت نظرية التكاملات بداية حقيقية في مطلع القرن العشرين مع لبسغ.

هل يمكن القول إن دراسة مسألة التكاملات باتت أمراً منتهياً؟

لقد سمحت أعمال لسبوغ في بداية هذا القرن بحل عدد كبير من المسائل المتعلقة بالتكامل. فمن تكامل لسبوغ إنما ظهرت نظرية الاحتمالات، وهي فرع لا يزال نشطاً ومتطوراً في الرياضيات. إن التكامل بحسب ريمان يعتمد على التقطيع العمودي بحيث نحصل على مستطيلات عمودية ونجعل قاعدة المستطيلات تنتهي إلى الصفر على محور السينات. أما لبسغ فقد اهتم في البداية بالكميات الأفقية. فاختار قيمة للتابع ع لمكاملتها على محور العينات، وجمع المجموعات التحتية لمقطع الانطلاق التي يرسلها التابع ع لهذه القيمة. وهذه المجموعات التحتية ليست بالضرورة مقاطع، بل يمكن لها أن تكون معقدة جداً ومليئة بالفجوات ومؤلفة من حشد كبير من النقاط. وبالتالي فإننا لا نتعامل هنا مع مستطيلات أو مع مساحات يسهل حسابها. وكانت المسألة التي تعرض لها لبسغ هي كيف يمكن معرفة مساحة أشباه المستطيلات هذه. وتلك كانت أساس نظرية القياس. واقترح لبسغ تعريف قياسٍ على مجموعة الأعداد الحقيقية، وهي مجموعة الأعداد التي يمكن أن تكتب بسلسلة لانهائية من الأرقام بعد الفاصلة، وذلك بفرض أن قياس مسافة ب جـ تساوي طولها جـ ب. وتسمح قواعد أخرى بمد هذا التعريف على مجموعات تحتية ذات مظهر أكثر صعوبة. ونحصل عندها على نظرية أقوى من نظرية ريمان بما أنها لا تعتمد على التقريبات بواسطة المستطيلات. ويمكن بواسطة نظرية لبسغ مكاملة توابع أكثر مما يمكن مع نظرية ريمان. وتعطي الحسابات بواسطة النظريتين النتائج نفسها بالنسبة للتوابع التي يمكن مكاملتها بواسطة نظرية ريمان.

هل يمكن دائماً مكاملة تابع رياضي ما؟

لا. فتكامل ريمان معرف على أنه النهاية المشتركة لمتسلسلتين، متسلسلة المستطيلات الفوقية ومتسلسلة المستطيلات التحتية. وبالنسبة لبعض التوابع الغريبة لا تتلاقى نهاية هاتين المتسلسلتين بل وأحياناً تكون قيمة النهايتين مختلفتين. ومثل هذه التوابع معقدة جداً في الواقع بحيث لا يمكن حتى رسمها، إذ لو أمكن رسمها لكان بالامكان طبعاً معرفة مساحاتها. ونجد مثلاً في هذا النوع من التوابع التابع الذي يساوي الواحد بالنسبة للأعداد الكسرية أو العادية ويساوي الصفر بالنسبة للأعداد الأخرى. وهو يبدو في الرسم البياني مثل كومة من النقاط بالنسبة للقيمة 1، وكومة من النقاط الأخرى بالنسبة للقيمة 0. وهو يمر بالتالي باستمرار من 0 إلى 1، ومهما كانت دقة التقطيعات التحتية المختارة فإن قيمة التقطيع التحتي تكون 0 وقيمة الفوقي تكون 1. وبين نقطتين ب وجـ تكون نهاية المستطيلات العليا (ب - جـ ) × 1 ونهاية المستطيلات التحتية تساوي الصفر: وبالتالي لا يوجد نهاية مشتركة وهذا يعني عدم وجود تكامل. ومن الصعب جداً وصف مجموعة التوابع غير القابلة للتكامل. إنها توابع غير مستمرة، أي التي تقفز أحياناً من قيمة إلى أخرى. وهكذا نعرف التابع القابل للتكامل بحسب ريمان بأنه التابع الذي لا توجد فيه نقاط تقطع كثيرة. ووفق نظرية القياس يُعبّر عن ذلك بأن مجموعة نقاط الانقطاع يجب أن تشكل مجموعة قياس معدومة. وبالمقابل فقد أعطى ريمان عام 1853 مثالاً على توابع لها لانهاية من نقاط الانقطاع وهي مع ذلك قابلة للتكامل.

ترجم بتصرف عن مجلة: La Recherche, 313, octobre, 1998

منقول عن الجمعية الكونية السورية .. وهو موقع جميل جدا

[فديت أمي]

من أحب مواد الكلية لي قديما كانت مادة التكامل .....لكن في نفسي لا أجد لها معني وفائدة
وذلك من تشعبة ..وكثرة أفكار مسائلة ....ولاأحد له تطبيقا واحدا علي أرض الواقع

..................جزاك الله خير أعدتي ذكريات الزمن الذي مضي .....

[ام فراس]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة فديت أمي ولاأحد له تطبيقا واحدا علي أرض الواقع .....

مع احترامي لرأيك ... ولكن كيف لاتجد تطبيقا واقعيا .. للتكامل .. سأورد لك مثالا بسيطا .. ..اذا اردناان نحسب مساحة ارض او مزرعة مثلا بعد ما سارت الحراثة مثلا على مسار خط منحني فانه يكفينا معرفة شكل الخط ونقطتي البداية والنهاية للحراثة لنعرف مساحة الارض .ومثال اخر...عندما تريد حساب امكانية حدوث تفاعل .. فإن هذا الاحتمال لا يمكن قياسه الا باجراء التكامل .. امور عديدة تقاس بالتكامل .. ولا يمكن اجراء عمليات عديدة الابالتكامل كحساب الحجوم لكل ماحولنا .. كالنجوم مثلا .. ولكن المشكلة في دراستنا نحن العرب جميعا انها بعيدة عنة الواقع .. والتطبيق يكاد ينعدم الا في الامور البسيطة والتجارب القديمة ..لذلك نحن لا ندرك اهمية ماندرسه ....اشكر مرورك يااخي الكريم

[أ. فيزياء]

موضوع رائع ... بارك الله فيكِ أختي الكريمه و جزاك خير الجزاء .

و من ذلك يجب على جميع معلمي الرياضيات شرح هذه المقدمه في التكامل الرياضي لجميع الطلاب ... حتى لا نرى أحدا يوما من الأيام مثل (( فديت أمي )) ...

[ام فراس]

اشكر مرورك ..ايها الاستاذ الفاضل

[فديت أمي]

شكرا لك أم فراس ....علي هذه الإشارة الرااااااائعة ..التي بصراحة خفية عني
وعن معظم مدرسي مادة الرياضيات ..وعن مدرسينا ..
كذلك عن دكاترتنا في الكلية .....كانت مادة التكامل ..مادة رياضية بحتة ...لا تعتمد بل لا تقوم علي
المقدمات ...ولا ذكر الفائدة من حل تلك المسائل ....
أشكرك مرة أخري ....وانتظر من المزيد ..........

[scorpion2005]

مشكور اخوي على الموضوع حلو كثييييييييييييييييييييييييييير

[المنسي]

مشكوره خيتو ام فراس على هذه المعومات الرائعه وجعلها في ميزان حسناتك اخويك المنسي