العدد النيبري e

الصادق · #4 24-10-2010, 19:35

الان اعتبر المتتابعة التالية
$\120dpi S_n=\left(1+\frac{1}{n} \right )^n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}$

التي يمكن ان نبرهن انها متزايدة واكبر من 2 على النحو التالي

$\120dpi \\ S_1=\left(1+\frac{1}{1} \right )^1=1+\frac{1}{1!}=2\\\\ S_2=\left(1+\frac{1}{2} \right )^2=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}=S_1+\frac{1}{2}>S_1\\\\ S_3=\left(1+\frac{1}{3} \right )^3=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}=S_2+\frac{1}{3!}>S_2$
الان لاحظ ان
$\120dpi \\ S_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+1}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{(n+1)!}\\\\ S_{n+1}=S_n+\frac{1}{(n+1)!}\\\\ \Rightarrow S_{n+1}>S_n \\$

وهذا يبرهن (لعدد n اكبر من الواحد) ان المتتابعة متزايدة و اكبر من 2
$\120dpi 2\leq S_1<S_2<S_3<\cdots <S_n<S_{n+1}<\cdots$
الان نريد ان بره انها محدودة من الاعلى اي انها اقل من قيمة عليا ما

$\120dpi S_n=\left(1+\frac{1}{n} \right )^n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}$

في المشاركة السابقة قد برهن ان
$\120dpi \\2^{n}\leq(n+1)!\\$

اي ان
$\120dpi n!\geq 2^{n-1}$

ومنها نجد ان

$\120dpi 1!= 2^{0},\qquad 2!= 2^1, \qquad 3!>2^2,\qquad 4!> 2^3,\qquad \cdots \qquad ,n!\geq 2^{n-1}$
و عليه فان
$\120dpi S_n=\left(1+\frac{1}{n} \right )^n<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}$
و الان لدينا متوالية هندسية حدها الاول 1 و اساسها نصف و بتعويض مجموع المتوالية الهندسية
$\120dpi \\S_n=\left(1+\frac{1}{n} \right )^n<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}=1+\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}\\\\ S_n=\left(1+\frac{1}{n} \right )^n<1+2\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)=3-\frac{1}{2^n}$

وبحساب النهاية عند n تؤول الى مالانهاية نحصل على
$\120dpi \\ e=\lim_{n\to \infty}S_n= \lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n} \right )^n< \lim_{n\to \infty}\left( 3-\frac{1}{2^n}\right )=3\\\\ \therefore 2<e<3$

هذا والله تعالى اعلم

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !