" المسابقة الرياضية الكبرى "

مهند الزهراني · #1 13-09-2010, 10:19

اهلا ، نسيت المسابقة تماما ، يعطيك العافية اخت نورة على التذكير ..

اخي ابراهيم حلولك صحيحة والاخت نورة كذلك ،،

نعود مع نوعية من المسائل اقول عنها انها " حبيبتي "

السؤال بسيط جدا ولكن للتنشيط ،،

اذا علمت أن $\150dpi abc=1$ فأثبت أن

$\150dpi \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

Weierstrass-Casorati · #2 13-09-2010, 19:34

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

اذا علمت أن $\150dpi abc=1$ فأثبت أن

$\150dpi \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

مر على أنا كمان وقريب جدا لكن ما أذكر فين
واللي حله استخدم متباينة الوسط الهندسي-الوسط التوافقي
لكن هذا حلي بمتباينة اعادة الترتيب وأظنه أسهل
باستخدام التعويضات
$\\ x=\frac{1}{a},\; y=\frac{1}{b},\;z=\frac{1}{c}\\ \\ S=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\\ \\ =\frac{x^3}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}+\frac{y^3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}+\frac{z^3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\\ \\ =\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\\ \\ \\$

بدون فقد للعمومية نفرض أن
$\\ a\geq b\geq c\\ \Rightarrow z\geq y\geq x \\ \Rightarrow z+y\geq z+x\geq y+x\\ \Rightarrow \frac{z}{x+y}\geq \frac{y}{z+x}\geq\frac{x}{z+y}$

بتطبيق متباينة إعادة الترتيب على التتابع $\left (\frac{x}{x+y}, \frac{y}{z+x},\frac{z}{z+y} \right )$ و $(x,y,z)$
باعتبار التبديلة $(y,z,x)$ و $(z,x,y)$

$\\ S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\geq \frac{xy}{z+y}+\frac{yz}{z+x}+\frac{zx}{x+y}\\ \\ S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\geq \frac{xz}{z+y}+\frac{yx}{z+x}+\frac{zy}{x+y}\\$

بالجمع
$\\ 2S\geq \frac{x(z+y)}{z+y}+\frac{y(z+x)}{z+x}+\frac{z(x+y)}{x+y}=x+y+z\\$

ومن $AM-GM$
$\\2S \geq 3\sqrt[3]{xyz}=3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3\\ \therefore S\geq \frac{3}{2}$

وهو المطلوب

صحيح مهند ناوي تكمل المسابقة هذه في الدراسة وإلا لا ؟
والله مرت الأجازة بسرعة صاروخية

وبالمناسبة السؤال لأهل العلم "أهل الأحساء" شو جمع تنحيزة، دلع بنوتة، يعني تنجمع جمع سالم وإلا تكسير؟

وأختي نورة مبروك عليك المتباينة الجميلة

مهند الزهراني · #3 13-09-2010, 20:21

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Weierstrass-Casorati

مر على أنا كمان وقريب جدا لكن ما أذكر فين
واللي حله استخدم متباينة الوسط الهندسي-الوسط التوافقي
لكن هذا حلي بمتباينة اعادة الترتيب وأظنه أسهل
باستخدام التعويضات
$\\ x=\frac{1}{a},\; y=\frac{1}{b},\;z=\frac{1}{c}\\ \\ S=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\\ \\ =\frac{x^3}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}+\frac{y^3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}+\frac{z^3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\\ \\ =\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\\ \\ \\$

بدون فقد للعمومية نفرض أن
$\\ a\geq b\geq c\\ \Rightarrow z\geq y\geq x \\ \Rightarrow z+y\geq z+x\geq y+x\\ \Rightarrow \frac{z}{x+y}\geq \frac{y}{z+x}\geq\frac{x}{z+y}$

بتطبيق متباينة إعادة الترتيب على التتابع $\left (\frac{x}{x+y}, \frac{y}{z+x},\frac{z}{z+y} \right )$ و $(x,y,z)$
باعتبار التبديلة $(y,z,x)$ و $(z,x,y)$

$\\ S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\geq \frac{xy}{z+y}+\frac{yz}{z+x}+\frac{zx}{x+y}\\ \\ S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\geq \frac{xz}{z+y}+\frac{yx}{z+x}+\frac{zy}{x+y}\\$

بالجمع
$\\ 2S\geq \frac{x(z+y)}{z+y}+\frac{y(z+x)}{z+x}+\frac{z(x+y)}{x+y}=x+y+z\\$

ومن $AM-GM$
$\\2S \geq 3\sqrt[3]{xyz}=3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3\\ \therefore S\geq \frac{3}{2}$

وهو المطلوب

صحيح مهند ناوي تكمل المسابقة هذه في الدراسة وإلا لا ؟
والله مرت الأجازة بسرعة صاروخية

وبالمناسبة السؤال لأهل العلم "أهل الأحساء" شو جمع تنحيزة، دلع بنوتة، يعني تنجمع جمع سالم وإلا تكسير؟

وأختي نورة مبروك عليك المتباينة الجميلة

حل جميل :a_plain111:

لكن الاحظ عشقك للحلول الطويلة ولا ادري لماذا

طيب شوف هذا الحل ، اول نطبق تمهيدية تيتو ومن ثم متباينة الوسطين

$\150dpi LHS\geq \frac{ \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2 }{2\left ( ab+bc+ca \right )}=\frac{\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2}{2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}$

$\150dpi \frac{\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}}{2}=\frac{3}{2}$

:a_plain111: :a_plain111: :a_plain111:

Weierstrass-Casorati · #4 13-09-2010, 22:36

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

حل جميل :a_plain111:

لكن الاحظ عشقك للحلول الطويلة ولا ادري لماذا

طيب شوف هذا الحل ، اول نطبق تمهيدية تيتو ومن ثم متباينة الوسطين

$\150dpi LHS\geq \frac{ \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2 }{2\left ( ab+bc+ca \right )}=\frac{\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2}{2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}$

$\150dpi \frac{\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}}{2}=\frac{3}{2}$

:a_plain111: :a_plain111: :a_plain111:

يبدو إن عندي مشاكل في النظر فما أشوف الحلول القصيرة بسهولة

لا والله اتعقدت

لكن حلك خطييير ما شاء الله :s_thumbup:

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !