مسائل دالة بيتا

زولديك · #1 19-11-2010, 15:44

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة اسومي

قيم الجاما ثلث وربع وغيرها تجدها في الجداول في نهايات كتب الرياضيات الفيزياوية او يمكن استخراجها مباشرة من الحاسبة العلمية

انا راح اطلع التكاملات بدلالة جاما إن شاء الله و الباقي عليك لني ما عندي حاسبة علمية او جداول فيزيائية

التكامل الاول

${\color{blue} \int_{0}^{5}x^{\frac{-1}{3}}.(5-x)^{\frac{16}{3}}dx}$

بالتعويض عن x بـــــ5s نجد ان
${\color{red} x=5s\Rightarrow dx=5ds}({\color{blue} and)x=0\Rightarrow s=0(and)x=5\Rightarrow s=1}$

ليؤول التكامل إلى الصيغة

${\color{blue} \int_{0}^{1}(5S)^{\frac{-1}{3}}(5-5S)^{\frac{16}{3}}dS=(5^{\frac{-1}{3}}.5^{\frac{16}{3}})\int_{0}^{1}S^{\frac{2}{3}-1}(1-S)^{\frac{19}{3}-1}dS=5^{\frac{15}{3}}\beta (\frac{2}{3},\frac{19}{3})=5^{\frac{15}{3}}\frac{\Gamma (\frac{2}{3})\Gamma (\frac{19}{3})}{\Gamma \frac{21}{3}}}$

التكامل الثاني

${\color{blue} \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{4}}dx\because x=s^{\frac{1}{4}}\Rightarrow dx=\frac{1}{4}s^{\frac{1}{4}-1}({\color{red} and)}x^{4}=s}$

ليصبح التكامل على الصيغة

${\color{blue} \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{4}}dx}\Rightarrow {\color{red} \frac{1}{4}\int_{0}^{1}s^{\frac{1}{4}-1}(1-s)^{\frac{3}{2}-1}ds=\frac{1}{4}}{\color{blue} \beta (\frac{1}{4},\frac{3}{2})=\frac{1}{4}}\frac{\Gamma (\frac{1}{4})\Gamma (\frac{3}{2})}{\Gamma (\frac{1}{4}+\frac{3}{2})}$

التكامل الثالث

واضح انه بإستخدام فك الكسور نجد ان التكامل معتل و يسعى إلى مالانهاية .

${\color{blue} \int_{1}^{3}\frac{dx}{(x-1).(3-x)}}={\color{red} \frac{1}{2}\int_{1}^{3}\frac{dx}{(x-1)}+\frac{1}{2} \int_{1}^{3}\frac{dx}{(3-x)}}$

لنجد التكامل الأول

${\color{red} \frac{1}{2}\int_{1}^{3}\frac{dx}{(1x-1)}}{\color{blue} =\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int_{1+\varepsilon }^{3}\frac{dx}{(x-1)}=\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}[ln(2)-ln(\varepsilon )]}{\color{red} \rightarrow \infty }$

و الثاني على نفس المنوال

${\color{red} \frac{1}{2}\int_{1}^{3}\frac{dx}{(3-x)}}{\color{blue} =\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int_{1+\varepsilon }^{3}\frac{dx}{(3-x)}=\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}[ln(\varepsilon )-ln(2 )]}{\color{red} }{\color{red} \rightarrow \infty}$

التكامل الرابع

${\color{blue} \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{3}}}=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}s^{\frac{1}{3}-1}(1-s)^{\frac{1}{2}-1}ds=\frac{1}{3}\beta (\frac{1}{3},\frac{1}{2})=\frac{1}{3}\frac{\Gamma (\frac{1}{3})\Gamma (\frac{1}{2})}{\Gamma (\frac{1}{3}+\frac{1}{2})}}$

التكامل الخامس

${\color{red} \int_{-1}^{+1}(1+x)^{\frac{7}{2}}.(1-x)^{\frac{9}{2}}dx}$

و بإفتراض ان

$x=s-1\Rightarrow x=-1\Leftrightarrow s=0(and)x=+1\Leftrightarrow s=2\Rightarrow {\color{red} \int_{0}^{2}(1+s-1)^{\frac{7}{2}}.(1-s+1)^{\frac{9}{2}}ds}{\color{blue} ={\color{red} \int_{0}^{2}(s)^{\frac{7}{2}}.(2-s)^{\frac{9}{2}}dx}}$

من جديد نفرض ان s=2z لينتج لدينا

${\color{blue} s=2z\therefore s=0\Leftrightarrow z=0(and)s=2\Leftrightarrow z=1}\because s=2z\Rightarrow ds=2dz$

و منه يصبح التكامل على الصيغة

${\color{blue} 2\int_{0}^{1}(2z)^{\frac{7}{2}}(2-2z)^{\frac{9}{2}}dz=2.2^{\frac{7}{2}}.2^{\frac{9}{2}}\int_{0}^{1}z^{\frac{9}{2}-1}(1-z)^{\frac{11}{2}-1}dz=2^{9}\beta (\frac{9}{2},\frac{11}{2})=2^{9}\frac{\Gamma (\frac{9}{2})\Gamma (\frac{11}{2})}{\Gamma (\frac{9}{2}+\frac{11}{2})}}$

التكامل السادس "اممم امهلني شوي"

و التكامل الاخير موجود في الاعلى

اسومي · #2 20-11-2010, 07:37

بالتعويض عن x بـــــ5s نجد ان
${\color{red} x=5s\Rightarrow dx=5ds}({\color{blue} and)x=0\Rightarrow s=0(and)x=5\Rightarrow s=1}$ [/CENTER] ليؤول التكامل إلى الصيغة

${\color{blue} \int_{0}^{1}(5S)^{\frac{-1}{3}}(5-5S)^{\frac{16}{3}}dS=(5^{\frac{-1}{3}}.5^{\frac{16}{3}})\int_{0}^{1}S^{\frac{2}{3}-1}(1-S)^{\frac{19}{3}-1}dS=5^{\frac{15}{3}}\beta (\frac{2}{3},\frac{19}{3})=5^{\frac{15}{3}}\frac{\Gamma (\frac{2}{3})\Gamma (\frac{19}{3})}{\Gamma \frac{21}{3}}}$

التكامل 1 لم تعوض عن dx ب خمسة دي اس بل اكتفيت ب دي اس فقط
اما التكامل السابع فهو يحل بصيغة من صيغ دالة بيتا
مع الشكر والتقدير

زولديك · #3 20-11-2010, 12:50

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة اسومي

التكامل 1 لم تعوض عن dx ب خمسة دي اس بل اكتفيت ب دي اس فقط
اما التكامل السابع فهو يحل بصيغة من صيغ دالة بيتا
مع الشكر والتقدير

كويس انتبهت , طيب بدك احلو بصيغة بيتا

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !